微积分习题

本文收集了高等数学（微积分）相关的习题，涵盖了极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程与差分方程等内容。每个章节都包含了基本概念、性质、方法以及综合提高题型，旨在帮助学习者巩固和提高微积分的知识。
参考书目：吉米多维奇《微积分习题》、同济大学《高等数学》等。

极限与连续 ​

1.函数 ​

求一元函数的定义域 ​

1. 函数$y = \sqrt{1-2x}+\sqrt{e-e^{(\frac{3x-1}{2})^2}}$的定义域为______.
2. 函数$f(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$的定义域为______.
3. 已知$f(x)=\sin x,f[\varphi(x)]=1-x^2$, 则$\varphi(x)$的定义域为______.
4. 已知$f(x)=e^{x^2}, f[\varphi(x)]=1-x$, 且$\varphi(x)\ge 0$, 则$\varphi(x)=$______, 定义域为______.
5. 已知$f(\log_{a}{x})=\sqrt{x}$, 则$f(x)$=______, 定义域为______, 其中$a\neq 1$, 且 $a > 0$.
6. 设$f(x)=\tan x,f[g(x)]=x^2-2$, 且 $|g(x)|\leq \frac{\pi}{4}$, 则 $g(x)$ 的定义域为______.

求初等函数的表达式 ​

1. 已知$f(x+\frac{1}{x})=\frac{x^2}{x^4+1}$, 求$f(x)$.
2. 设$f(\frac{x+1}{x-1})=3f(x)-2x$, 求$f(x)$.
3. 设$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, f_1(x)=f[f(x)], f_2(x)=f[f_2(x)],\cdots ,f_{n+1}(x)=f[f_n(x)](n=1,2,\cdots).$则$f_n(x)=$______.
4. 设$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_8x^8=(2x-1)^8$, 求$a_1+a_2+\cdots+a_7$.
5. 设$2f(x)-f(\frac{1}{x})=2x+\frac{3}{x}$, 求$f(x)$.

求分段函数的表达式 ​

1. 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有定义, 对任意$x$, 恒有$f(x+1)=2f(x)$, 且当$x\in[0,1]$时, $f(x)=x(1-x^2)$, 求$f(x)$在$[-1,0]$与$[1,2]$上的表达式.
2. 设$f(x)=\begin{cases}1,\quad |x|\le 1\\2,\quad |x| >1\end{cases}$, 则$f\{f[f(x)]\}$等于______.
3. 设$g(x)=\begin{cases}2-x,\quad x\le 0\\x+2,\quad x>0\end{cases}, f(x)=\begin{cases}x^2,\quad x<0\\ -x,\quad x\ge 0\end{cases}$, 则$g[f(x)]=$______.

判断函数的奇偶性 ​

1. 下列函数中非奇非偶的函数是______.
   • A. $f(x)=3^x-3^{-x}$
   • B. $f(x)=x(1-x)$
   • C. $f(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}$
   • D. $f(x)=x^2\cos x$
2. 设$f(x)$为奇函数, 判断下列函数的奇偶性:
   1. $xf(x)$
   2. $(x^2+1)f(x)$
   3. $|f(x)|$
   4. $-f(-x)$
   5. $f(x)(\frac{1}{2^x+1}-\frac{1}{2})$
3. 已知函数$f(x)$满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$, 则$f(x)$是______.
   • A. 奇函数
   • B. 偶函数
   • C. 既不是奇函数也不是偶函数
   • D. 以上都不是
4. 设$f(x)$为奇函数, $g(x)$为偶函数, 且它们可以构成复合函数$f[f(x)], g[f(x)], f[g(x)], g[g(x)]$,则其中为奇函数的是______.
   • A. $f[f(x)]$
   • B. $g[f(x)]$
   • C. $f[g(x)]$
   • D. $g[g(x)]$

判断函数的单调性 ​

1. 设$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上有定义, 且对任意$x,y\in(-\infty, +\infty)$有$|f(x)-f(y)|< |x-y|$, 证明$F(x)=f(x)+x$在$(-\infty, +\infty)$上单调增加.
2. 设$f(x),g(x),h(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的单调增加函数, 且$f(x)\le g(x)\le h(x)$, 证明$f[f(x)]\le g[g(x)]\le h[h(x)]$.

一元函数周期性的讨论 ​

1. 设$[x]$是表述不超过$x$的最大整数, 则$y=x-[x]$是______.
   • A. 无界函数
   • B. 周期为1的周函数
   • C. 单调函数
   • D. 偶函数
2. 设对任何$x\in(-\infty, +\infty)$, 存在常数$c\ne 0$, 使$f(x+c)=-f(x)$. 证明$f(x)$是周期函数.

求反函数 ​

1. 函数$f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$的值域是______.

讨论一元函数的值域 ​

1. 函数$y=\sin \frac{\pi x}{2(1+x^2)}$的值域是______.
2. 求$y=f(x)=\begin{cases}3-x^3,\quad x< -2\\5-x,\quad -2\le x\le 2\\1-x-2^2,\quad x>2\end{cases}$的值域, 并求他的反函数.

2.数列的极限 ​

有关数列极限存在性的判断 ​

1. “对任意给定的$\epsilon\in(0,1)$, 总存在正整数$\mathbb{N}$,当$n\ge \mathbb{N}$时, 恒有$|x_n-a|\le 2\epsilon$”是数列$\{a_n\}$收敛于$a$的______.
   • A. 充分条件但非必要条件
   • B. 必要条件但非充分条件
   • C. 充分必要条件
   • D. 既非充分条件又非必要条件
2. 设$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$均为非负数列, 且$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0, \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=1, \lim_{n\rightarrow \infty}c_n=\infty$, 则必有______.
   • A. $a_n<b_n$对任意$n$成立
   • B. $b_n<c_n$对任意$n$成立
   • C. 极限$\lim_{n\rightarrow \infty}a_nc_n$不存在
   • D. 极限$\lim_{n\rightarrow \infty}b_nc_n$不存在
3. $\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n}) ^{(-1)^n}=$______.

证明数列没有极限 ​

1. 设$a_n=(1+\frac{1}{n})\sin \frac{n\pi}{2}$, 证明数列$\{a_n\}$没有极限.

函数的极限 ​

讨论函数极限的存在性 ​

1. 设对任意的$x$, 总有$\varphi(x)\le f(x)\le g(x)$, 且$\lim_{x\rightarrow \infty}[g(x)-\varphi(x)]$, 则$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)$______.
   • A. 存在且等于零
   • B. 存在但不一定为零
   • C. 一定不存在
   • D. 不一定存在
2. 设$f(x)=\begin{cases}x,\quad |x|\le 1\\ x-2,\quad |x|>1\end{cases}$. 试讨论$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$及$\lim_{x\rightarrow -1}f(x)$.
3. 证明$\lim_{x\rightarrow +\infty}x\sin x$不存在.
4. 求函数

$$f(x)=\frac{|x|}{x}, g(x) = \frac{1-a^{\frac{1}{x}}}{1+a^\frac{1}{x}}(a>1)$$

当$x\rightarrow 0$时的左、右极限, 并说明$x\rightarrow 0$时极限是否存在.

4.无穷小与无穷大 ​

有关无穷小与无穷大的定义 ​

1. 当$x\rightarrow 0$时, 变量$\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$是______.
   • A. 无穷小
   • B. 无穷大
   • C. 有界的, 但不是无穷小量
   • D. 无界的, 但不是无穷大
2. 函数$f(x)=x\sin x$______.
   • A. 当$x\rightarrow \infty$时为无穷大
   • B. 在$(-\infty, +\infty)$内有界
   • C. 在$(-\infty, +\infty)$内无界
   • D. 当$x\rightarrow \infty$时有有限极限
3. 设数列$x_n$与$y_n$满足$\lim_{n\rightarrow \infty}x_ny_n=0$, 则下列断言正确的是______.
   • A. 若$x_n$发散, 则$y_n$必发散
   • B. 若$x_n$无界, 则$y_n$必有界
   • C. 若$x_n$有界, 则$y_n$必为无穷小
   • D. 若$\frac{1}{x_n}$为无穷小, 则$y_n$必为无穷小

5.极限运算法则 ​

利用极限存在的充要条件求极限 ​

1. 当$x\rightarrow 1$时, 函数$\frac{x^2-1}{x-1}e^{\frac{1}{e^x-1}}$的极限______.
   • A. 等于2
   • B. 等于0
   • C. 为$\infty$
   • D. 不存在但不为$\infty$
2. 设$f(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x}}+1,\quad x<0\\1,\quad x=0\\1+x\sin\frac{1}{x},\quad x>0\end{cases}$, 求$\lim_{n\rightarrow 0}f(x)$.

利用分子或分母有理化求极限 ​

1. $\lim_{n\rightarrow\infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]=$______.
2. 极限$\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})=$______.
3. $\lim_{x\rightarrow -\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)=$______.
4. $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{1+x}}{x^2+x-2}=$______.
5. $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{4^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$.

先求和，再求极限 ​

6.极限存在准则 两个重要极限 ​

利用夹逼准则求极限 ​

利用单调有界数列必有极限求极限 ​

利用第一个重要极限求极限 ​

利用第二个重要极限求极限 ​

极限中参数的确定 ​

无穷小的比较 ​

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连续函数的运算与初等函数的连续性 ​

闭区间上连续函数的性质 ​

综合提高题型1 ​

导数与微分 ​

导数的概念 ​

导数的基本公式与运算法则 ​

高阶导数 隐函数的导数 ​

微分 ​

综合提高题型2 ​

微分中值定理与导数的应用 ​

微分中值定理 ​

洛必达法则 ​

泰勒公式 ​

函数的单调性与曲线的凹凸性 ​

函数的极值与最大值、最小值 ​

函数图形的描绘 ​

导数在经济中的应用 ​

综合提高题型3 ​

不定积分 ​

不定积分的概念与性质 ​

换元积分法 ​

分部积分法 ​

有理函数的积分 ​

综合提高题型4 ​

定积分 ​

定积分的概念与性质 ​

微积分的基本公式 ​

定积分的换元法与分部积分法 ​

广义积分 ​

定积分的应用 ​

综合提高题型5 ​

多元函数微积分 ​

多元函数的基本概念 ​

偏导数 ​

全微分 ​

多元复合函数的求导法则 ​

隐函数的求导法则 ​

多元函数极值及其应用 ​

二重积分 ​

综合提高题型6 ​

无穷级数 ​

常数项级数的概念和性质 ​

正项级数的审敛法 ​

任意项技术的审敛法 ​

幂级数 ​

函数展开成幂级数 ​

综合提高题型7 ​

常微分方程与差分方程 ​

微分方程的基本概念 ​

可分离变量的微分方程 ​

一阶线性微分方程 ​

二阶常系数线性微分方程 ​

差分方程 ​

综合提高题型8 ​